Prefácio

 

Jorge Buescu não precisa de apresentações. O grande público conhece-o como um professor de Matemática do Instituto Superior Técnico e um dos divulgadores de ciência mais interessantes e bem sucedidos do nosso país: o anúncio de uma conferência sua é garantia de casa cheia e a sua opinião é procurada pelos meios de comunicação. Os seus textos necessitam ainda de menos apresentação do que a sua pessoa. São lidos avidamente, primeiro pelos leitores da revista Ingenium e, depois, quando coligidos em livro, são sucessos editoriais. O seu primeiro livro, O Mistério do Bilhete de Identidade e outras histórias (Gradiva, 2001) é uma das mais conhecidas obras de divulgação científica por um autor português. No momento em que escrevo estas linhas vai já na sétima edição e a sua notícia passou para fora do nosso país. Prevejo que o livro que agora se publica terá um trajecto semelhante.

Este prefácio seria por isso completamente inútil e uma perda de tempo, não fosse o caso de o próprio sucesso dos textos de Jorge Buescu ser um fenómeno que causa alguma perplexidade e exige um pouco de reflexão.

Como se explica que num país como o nosso, em que os índices de cultura científica, e sobretudo matemática, revelam uma situação próxima do colapso — em que, mesmo depois de doze anos de escolaridade, uma fracção apreciável de alunos não conseguiu aprender a somar fracções, e até em cursos científicos e de engenharia é possível encontrar estudantes incapazes de enunciar correctamente o Teorema de Pitágoras — como se explica que textos que falam de algoritmos complexos, do teorema de Fermat, da conjectura de Catalan, sejam lidos com evidente prazer por tanta gente?

É verdade que a divulgação científica e o ensino da ciência são tarefas diferentes e que a segunda é muito mais difícil do que a primeira. Tentar ensinar os rudimentos da geometria ou da aritmética a turmas de alunos entorpecidos por doses diárias de reality shows, obcecados com sexo, anestesiados por uma cultura que promove a boçalidade e o facilitismo é um desafio gigantesco. Os professores que corajosamente continuam a tentar merecem estátuas e o respeito de todos nós. É também verdade que a inexistência de «especialistas» em divulgação científica — que trariam com eles a prática deprimente de uma pseudo-intelectua­lidade oca e o uso de uma linguagem iniciática, que seria o divulguês — tem também efeitos muito benéficos.

Mas mesmo levando em conta estas razões, a entusiasmada recepção que têm tido os textos de Jorge Buescu parece exigir alguma explicação.

Embora a divulgação científica não sirva para ensinar, tem o mérito de identificar os interesses e a curiosidade de uma população. Aliás, a esperança dos que se dedicam à divulgação científica — e de todos nós — é que ela sirva para potenciar e aumen­tar esse interesse por assuntos de ciência. Por isso, a primeira coisa que o sucesso destes textos mostra é que parece não haver na sociedade portuguesa nenhum problema com a matemática ou a ciência em si, mas sim que há problemas graves com o ensino desses assuntos.

Sobre o diagnóstico desses problemas e a terapia para os ultrapassar, este não é o lugar e eu não sou certamente a pessoa para o fazer. Mas há algo a aprender olhando para o estilo e as características mais salientes dos textos de Jorge Buescu, pois o interesse geral não reagiria de maneira tão positiva se não fosse servido por materiais da melhor qualidade.

Em primeiro lugar está o domínio dos assuntos tratados. O lei­-tor não se deve enganar pela aparente ligeireza destas crónicas. Estes textos não se escrevem recolhendo e misturando à pressa informação dispersa de proveniências diversas. Para escrevê-los foram precisas horas de trabalho, por um matemático profissional. De resto, a competência do autor adivinha-se na sensação que sempre fica de ele saber muito mais para além daquilo que nos está a contar.

Todos os textos tratam concretamente de assuntos concretos. Não se encontra aqui nem uma afirmação vaga nem uma linha de prosa vaporosa. Os poetas do universo e outros lânguidos contemplativos da harmonia cósmica não têm aqui matéria para os seus suspiros, pela razão simples de que a ciência a sério não é assim. Além disso, Jorge Buescu não subestima os seus leitores. Estas crónicas supõem um leitor inteligente e disposto a pensar. Aliás, muitas crónicas implicitamente convidam o leitor a trabalhar, de modo que ter por perto papel e lápis pode ser recomendável.

Depois, há algumas outras características que tornam a leitura destes textos num prazer. O leitor encontrará aqui, com graça e em doses criteriosamente administradas, exemplos daquela estranha combinação de excentricidade e monotonia que caracteriza as vidas de muitos cientistas criativos. E encontrará sobretudo muito bom senso e uma saudável desconfiança de preconceitos e da «sabedoria convencional». Alguns desses preconceitos, típicos do nosso tempo, como o catastrofismo ambientalista ou a sobranceria saloia com que tantos dos nossos contemporâneos olham para os homens de ciência de épocas passadas, são aqui zurzidos com doses industriais de humor e informação factual.

Finalmente, aquilo que me parece o mais importante. Os textos visam, tanto quanto é possível, a compreensão, isto é, o próprio núcleo do que é a ciência, que não é uma actividade descritiva ou taxonómica, nem muito menos um exercício em nomenclatura, mas sim um esforço árduo, constante e muitas vezes obsessivo para compreender.

Jorge Buescu desfruta de uma posição especial entre os que fazem divulgação científica no nosso país, mas não é o único.     A divulgação científica é feita entre nós, e muito bem, por uma meia dúzia de pessoas, cientistas, que antes de qualquer outra característica têm a seguinte: sabem do que estão a falar e é disso que falam. O facto de se dedicarem à divulgação não lhes trouxe benefícios para as suas carreiras científicas — possivelmente até as prejudicou — e à parte a sempre dúbia vantagem de algum reconhecimento público, não se adivinha outro motivo para além do puro gozo de comunicar a outros aquilo de que se gosta. Talvez estas coisas simples sejam, afinal, a explicação mais profunda para o sucesso destas crónicas.

 

Henrique Leitão

Universidade de Lisboa

 

Agradecimentos

 

É espantoso verificar como a publicação até de um pequeno livro como este pode ser tão melhorada com o contributo de tantas pessoas que tenho a honra de contar como amigos.

Em primeiro lugar, é com o maior prazer que agradeço a Henrique Leitão, meu amigo de há um quarto de século (!). Ele acedeu a roubar tempo ao seu trabalho científico, único em Portugal, bem como à sua família, aceitando enriquecer este livro com um prefácio, pelo que lhe estou muito reconhecido.

Em relação ao meu anterior livro O Mistério do BI e Outras Histórias, Eduardo Marques de Sá foi o primeiro a apontar-me a necessidade de uma bibliografia e João Palhoto de Matos a grande vantagem de dispor de imagens. Ambos tinham toda a razão; essas insuficiências foram colmatadas no presente livro.

Carlos Fiolhais, Henrique Leitão, João Filipe Queiró, Jorge Nuno Silva, Nuno Crato, Paulo Gil disponibilizaram-se amavelmente para a espinhosa tarefa de ler e criticar versões preliminares deste livro, enriquecendo-o com inúmeras correcções, sugestões e comentários sempre pertinentes. A todos eles estou muito reconhecido. É claro que quaisquer incorrecções que subsistam na versão final, em certas partes reescrita, são da minha exclusiva responsabilidade.

Tal como aconteceu com O Mistério do BI e Outras Histórias, a maioria dos textos agora nas mãos do leitor viu a luz do dia pela primeira vez, embora sob forma por vezes bastante dife­rente, na Ingenium, Boletim da Ordem dos Engenheiros, com a qual tenho a honra de colaborar há anos assinando uma coluna sobre Matemática. Ao Bastonário da Ordem, Eng.^o Francisco Sousa Soares, e ao coordenador editorial, Fernando Melo, agradeço a autorização para basear este livro nesses textos.

Como não há regra sem excepção, o capítulo 10 foi escrito em colaboração com João Paulo Teixeira e publicado na Gazeta de Física. Agradeço tanto ao meu co-autor como ao director da Gazeta de Física, Carlos Fiolhais, a autorização para o incluir neste livro.

Muitas outras pessoas ajudaram de várias formas a que este livro assumisse a forma final. Estão nestas circunstâncias Maria Adelaide Brandão e António Pádua Loureiro, bem como a sua singular Universitas Gratiae, Teresa Carvalho e Paulo Ivo Teixeira. Também largas dezenas de leitores da Ingenium, que seria impos­sível nomear, responderam ao desafio que lhes propus, enviando--me muitas centenas de números de série de notas de euro (mas, infelizmente, não as notas em si). Este facto foi fundamental para os resultados apresentados no capítulo 1, que dá parte do nome ao livro. A conjectura sobre os mini-códigos aí apresentada é devida a Paulo Rogério Pereira, o recordista absoluto no envio de números de série (cerca de duas centenas).

A John M. Sullivan, da Universidade do Illinois, agradeço a sua gentil autorização em reproduzir as imagens das bolhas ­duplas reproduzidas no capítulo 8. A Preda Mihailescu, da Universidade de Paderborn, agradeço o amável envio de uma foto com autorização para reprodução no capítulo 4. Ao meu amigo Luís Simas, que já está a tornar-se no fotógrafo oficial destes livros, devo      o inestimável apoio nas fotos do capítulo 7 e no tratamento de outras imagens.

A toda a equipa da Gradiva, e muito em particular ao meu amigo Guilherme Valente, agradeço o permanente apoio, encoraja­mento e disponibilidade para que este livro visse a luz do dia.

Numa tarefa destas, o apoio da família foi essencial de muitas maneiras. Ao Henrique agradeço os berlindes e ao Guilherme a plasticina que me emprestaram para uma das fotos do capítulo 7. À Catarina, para agradecer devidamente, teria de escrever outro livro; ela sabe porquê.

 

Jorge Buescu

Lisboa, 23 de Fevereiro de 2003

 

parte i

 

Matemática

 

1

 

Como falsificar euros

 

Com a festa da entrada em circulação da moeda única a 1 de Janeiro de 2002, o Banco Central Europeu (BCE) herdou um ver­-dadeiro pesadelo: o que fazer para evitar, com a introdução de notas desconhecidas num mercado com mais de 300 milhões de utili­zadores, a inevitável tentação criminosa da falsificação de notas?

Parte da resposta é conhecida: as notas emitidas pelo BCE possuem vários sistemas tecnológicos de segurança, concebidos para dificultar a reprodução: a banda holográfica; a marca de água; a banda identificadora... aparentemente, serão 11 os mecanismos de segurança, dos quais o BCE só terá divulgado sete.

Um dos mecanismos de segurança, obviamente não ­divulgado, é o da formação do número de série das notas. Trata-se de um mecanismo estritamente matemático, que não envolve qualquer tipo de alta tecnologia gráfica, mas que pode ser uma defesa pode­-rosíssima contra a fraude. A ideia é óbvia, e utilizada em todo o mundo: implementar nos números de série das notas emitidas um algoritmo de validação dos números, por forma a que um eventual falsário, que se limite a inventar um número de série arbitrário e o imprima na nota, corra o sério risco de imprimir um número de série inválido — e a falsificação seja detectada.

Por exemplo, eu tenho neste momento à minha frente a nota de 20 euros com o número de série M30521117947. Veremos a seguir que, se tivesse a má ideia de produzir uma nota falsa com o número M30521117948, esse número seria ilegal e a falsificação imediatamente detectada.

Como é evidente, embora o combate à falsificação seja uma motivação poderosa, está longe de ser a única para introduzir algoritmos deste género — chamados sistemas de identificação. Outro objectivo essencial é o de evitar erros de comunicação e transmissão de dados. Imaginemos, por exemplo, que uma agência bancária envia a outra um grande volume de notas. Provavelmente enviará também um documento escrito, talvez por fax, comunicando os números de série das notas a transportar. Se por acaso houver um erro de escrita desses números de série (cau­sado por erro humano como carregar na tecla errada, por um fax de baixa resolução, etc.) a agência receptora pode detectá-lo ­ainda antes do transporte físico, simplificando bastante a vida aos bancários e evitando situações potencialmente desagradáveis.

É para evitar situações deste género que, desde os anos 50, se criaram sistemas de detecção de erros sempre que se lida com números com muitos algarismos. A ideia é sempre a mesma: a de incorporar no próprio número um ou mais algarismos suplementares — ditos algarismos de verificação, ou por vezes dígitos de controlo — que permitam detectar se o número em questão é válido ou se, pelo contrário, foi algures cometido pelo menos um erro de escrita, leitura ou transmissão.

Hoje em dia a utilização destes sistemas está perfeitamente gene­ralizada. Por exemplo, os números de bilhete de avião consistem num número de 15 algarismos dos quais o último é um algarismo de verificação. Os números de cheque (em Portugal) têm dois alga­-rismos de verificação. Os códigos de barras possuem um algarismo de verificação. O ISBN (International Standard Book Number, que aparece na contracapa de cada livro e o identifica) é um número de 10 algarismos, dos quais o último é de verificação.

Todos estes sistemas de identificação têm o mesmo objectivo: detectar o maior número possível de erros na transmissão de um com muitos algarismos. Para isso é conveniente saber quais são os erros típicos que ocorrem, bem como quais as frequências relativas. Quando um caixa de supermercado, ou um agente de viagens, ou uma livraria, se enganam num destes números, quais são tipicamente os erros cometidos?

A resposta está na tabela 1. Cerca de 80% dos erros são os cha­-mados erros singulares: um erro isolado num único algarismo. Mais de 10% são os chamados erros de transposição, em que se troca a ordem de um par de algarismos. Todos os outros tipos de erros em conjunto somam pouco mais de 10% do total, não havendo nenhum tipo de erro com frequência superior a 0,8%.

Assim, o objectivo mínimo de um sistema de detecção de erros deve ser o de detectar com eficiência 100% todos os erros singula­res e de transposição. Se o conseguir, detectará (no mínimo) cerca de 90% dos erros efectivamente cometidos.

Todos os sistemas de detecção de erros acima descritos (bilhe­tes de avião, códigos de barras, ISBN, cheques, cartões de crédito, etc.) são pequenas variações sobre um único tema: o algarismo de verificação é calculado através de aritmética modular. A ­forma mais fácil de compreender este facto é através de um exemplo.

Tomemos, por exemplo, o caso do ISBN. O ISBN é um ­número de 10 algarismos em que, como foi acima referido, os nove primeiros identificam o país, a editora e o livro, sendo o último o de verificação, calculado da seguinte forma: para que o número

 

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ - x₁₀

 

seja um número ISBN válido, x₁₀ deve ser tal que a soma («de controlo»)¹

 

S = 10x₁ + 9x₂ + 8x₃ + 7x₄ + 6x₅ + 5x₆ + 4x₇ + 3x₈ + 2x₉ + x₁₀

 

seja múltipla de 11 (seja congruente com 0 módulo 11, isto é, dê resto 0 quando dividida por 11). Por exemplo, o livro O Mistério do Bilhete de Identidade e outras histórias, do autor destas ­linhas, tem o ISBN 972662792-3; o algarismo de verificação é 3, e é de facto o único inteiro (entre 0 e 10) que faz com que a soma de controlo seja congruente com 0 módulo 11.

Por outro lado, o leitor pode convencer-se facilmente de que se cometer um erro singular ou de transposição na escrita deste número, ele será fatalmente detectado — porque os pesos atribuí­dos a algarismos diferentes são diferentes (e todos eles são ­primos relativamente a 11). Assim, estes erros são detectados com eficiên­cia 100% pelo algoritmo ISBN. A razão de se utilizar 11 como módulo vem da Teoria de Números: 11 é o menor primo maior ou igual a 10, assegurando sem grande esforço que qualquer dos pesos é primo com o módulo utilizado.

Todos os outros algoritmos descritos são pequenas variações sobre este tema: pode variar o módulo (que para os bilhetes de avião é 7) ou os pesos atribuídos a cada algarismo, mas a determi­nação do algarismo de controlo é sempre a aritmética modular. No entanto, nem todos os algoritmos são «perfeitos»: o dos bilhe­tes de avião não detecta todos os erros singulares ou ­transpo­sições.

Mas mesmo o algoritmo ISBN tem desvantagens: o ­comprimento do número não pode ser superior a 10 algarismos. Por exemplo, se um dia o número de livros que dispõem de ISBN ultrapassar o número total disponível, mesmo com as astúcias actualmente em vigor, o sistema ISBN terá de ser substituído por um outro completamente novo, de raiz (não é caso único: prevê-se que o código de barras americano, que usa 12 algarismos, esgote a sua capacidade em 2005, passando os EUA a adoptar o código de barras europeu, que tem mais um algarismo). Por outro lado, o algarismo de controlo está, em geral, entre 0 e 10 inclusive (no caso de a soma de controlo, excluindo o algarismo de identificação, ser 1, este terá de ser 10). Para obviar este problema introduz-se no ISBN um carácter extra, no caso X (que em numeração romana é 10), a ser usado quando o algarismo de controlo é 10. Como já explicado no livro citado, a tentativa desastrada de evitar o símbolo X como algarismo de controlo no BI português conduziu ao célebre bug do BI (que também está presente no número de contribuinte). Mas não estamos orgulhosamente sós: aparentemente, o documento de identificação em certos estados brasileiros sofre de um problema semelhante.

Em 1969 o matemático holandês J. Verhoeff criou um sistema de identificação perfeito do ponto de vista descrito. Detecta ­todos os erros singulares e de transposição com eficiência 100%, admite números com uma quantidade arbitrária de algarismos — 10, 20, 100 — e necessita apenas de um único algarismo de identificação, que toma apenas os valores 0, 1, ... 9.

O preço a pagar é que o sistema de Verhoeff é matematicamente bem mais sofisticado do que a simples aritmética modular: baseia-se em permutações com uma característica algébrica particular (ditas permutações assimétricas) de 10 elementos (os inteiros) sobre o grupo diedral D₅ (grupo das simetrias do pentá­gono regular). O grupo D₅ não é comutativo, ao contrário da arit­-mética modular. Implementar o sistema de Verhoeff exige conhecimentos não-triviais de Matemática; reconstruí-lo por observação dos números admissíveis é extremamente difícil.

Do ponto de vista de um banco que deseja evitar falsificações de notas, o sistema de Verhoeff (generalizado por H. Gumm em 1985) é perfeito. Há mais de dois milhões de permutações assimétricas de D₅. Um falsificador consciencioso teria de recolher milhares de números de notas, construir todas estas permutações e testá-las uma a uma (admitindo que compreendesse a Matemática do sistema de Verhoeff) para conseguir reconstruir o sistema usado e produzir notas «genuinamente falsas» — ou seja, cuja falsidade não fosse detectável a partir dos números de série.

Foi exactamente isto que o Bundesbank alemão pensou — e, se bem o pensou, melhor o fez. O Bundesbank utilizou o sistema de Verhoeff na verificação de números de série de notas de marcos entre 1990, após a reunificação da Alemanha, e 2001, até à ­entrada em vigor do euro. São essenciais conhecimentos sofisticados de Matemática para quebrar este algoritmo; torna-se necessário calcu­lar todas as permutações anti-simétricas do grupo S₁₀; para cada uma, compor todas as combinações das suas potências com o produto do grupo diedral não-comutativo D₅; e testar todos os resultados obtidos contra os dados experimentais. Asseguro que é uma tarefa matematicamente não-trivial, acima das capacidades de um qualquer candidato a falsário, e computacionalmente gigantesca. O código utilizado foi revelado em 1991 por um matemático ­alemão, R.-H. Schulz, da Universidade de Berlim, especialista em Teoria de Códigos e Criptografia. Obviamente, o facto de o algoritmo se tornar público não afectou a sua utilização para efeitos de controlo de erros de transmissão; em todo o caso, não deve ter deixado muito satisfeitos os responsáveis do Bundesbank.

E regressamos finalmente ao euro. Com a entrada em circula­ção de um dia para o outro de uma moeda nova em folha; com a necessidade maior do que nunca — até por razões políticas — de proteger o euro de falsificações; com a muito positiva ­experiência do Bundesbank, e com a locomotiva de Berlim a puxar o comboio da moeda única, não podia esperar-se outra coisa senão que o esquema de segurança implementado nos números de série das notas de euro fosse o sistema de Verhoeff.

Foi assim com a expectativa de ver a Matemática consagrada como base da segurança do novo sistema financeiro europeu que o autor destas linhas começou a coleccionar números de série de notas de euro, e a escrever programas de computador que permitissem testar permutações assimétricas de D₅. Havia contudo bas­tantes surpresas à espera, e os programas não foram sequer neces­sários.

Os números de série das notas de euro são formados por uma letra seguida de 11 algarismos. O primeiro carácter do número de série, a letra, identifica o país em que a nota foi emitida. A correspon­dência entre letras e países é dada na tabela 2. Aí se pode ver, por exemplo, que as notas emitidas em Portugal são as iden­tificadas pela letra M. Estes dados, como me foi comunicado pelo Prof. Eduardo Morgado, do IST, são públicos: veja-se http://www.lbmrc.co.uk/19_news_bulletin.htm. Em particular, o leitor poderá a partir de hoje saber de onde são originárias as notas que lhe passam pelas mãos!

É simples, apenas a partir da colecção de números de notas, compreender que existe um único algarismo de controlo — o último, que toma apenas valores entre 1 e 9. Os 10 algarismos intermédios são o número da nota propriamente dito. O ­mecanismo de controlo funciona da seguinte forma: a cada letra é associado um valor numérico (por exemplo, Z = 9 e M = 5). Apresentam-se na tabela 2 todas estas correspondências. Substituindo a letra pelo seu valor numérico, obtemos, pois, um número de 12 algarismos. E eis o fantástico algoritmo de controlo concebido pelo Banco Central Europeu: para ser válido, esse número tem de ser congruente com 0 (mod 9). Dito de outra forma: tem de verificar noves fora nada.

E é tudo. Se o leitor não acredita, sugiro que faça o teste com notas que tenha na carteira. Pegue numa delas, substitua a letra pelo seu valor numérico², e some todos os 12 algarismos do número obtido. O resultado tem de ser um múltiplo de 9³. Ou seja, o número resultante verifica noves fora nada.

Há algumas curiosidades relacionadas com a tabela 2. Em primeiro lugar, é interessante notar que o padrão seguido pelo BCE para a atribuição de valores numéricos a letras é claro e matematicamente trivial: começando com J = 2, o valor ­numérico de uma letra é sempre o sucessor do da letra anterior módulo 9. As letras O = 7 e Q = 9 não são atribuídas, provavelmente por se poderem confundir com o número 0. Assim, não existem notas começadas por estas letras. Este padrão corresponde simplesmente a começar por atribuir o valor numérico máximo (9) à última letra do alfabeto (Z) e diminuir o valor por 1 quando se passa à letra anterior (tendo em atenção que, em aritmética módulo 9, 9 = 0). Prosseguindo a tabela para trás, constata-se, por exemplo, que A = 2 — o que sugere fortemente que a atribuição de valores a letras tenha de facto começado «de trás para a frente».

Em segundo lugar, existe uma particularidade muito curiosa. Embora a União Europeia integre 15 países, só 12 deles aderiram ao euro; o Reino Unido, a Suécia e a Dinamarca decidiram volun­tariamente excluir-se, por enquanto. No entanto, o BCE decidiu desde já reservar letras para estes países (respectivamente J, K e W), provavelmente na esperança de que invertam a sua decisão a curto prazo. Assim, o leitor também não encontrará notas de euro em circulação cuja letra seja uma destas — pelo menos até à adesão destes países.

Observe-se uma terceira curiosidade: o sistema de atribuição de letras a países emissores de notas permitirá incorporar no máximo 23 países. Há 26 letras no alfabeto escolhido, das quais se excluem O e Q (por se poderem confundir com o número 0) e provavelmente, se e quando chegar a altura, se excluirá também a letra I (por se poder confundir com o número 1). Assim, se e quando a Zona Euro tiver mais de 23 membros, o sistema entrará em rotura, sendo necessário reformulá-lo.

Existe ainda um curioso fenómeno especificamente português, já não relacionado com a tabela 2. As notas emitidas em Portugal começam pela letra M; o primeiro algarismo a seguir à letra ­iden­ti­fica a designação da nota: na de 5 euros (primeira designação) é 1, na de 10 (segunda designação) é 2, na de 20 é 3, na de 50 é 4, etc. Este fenómeno, contudo, não ocorre aparentemente em qualquer outro país; e como veremos abaixo há quatro países — Alemanha, França, Itália e Espanha — em que garantidamente não pode ocorrer. Trata-se, pois, de mais uma originalidade portuguesa.

Estas quatro curiosidades são, no entanto, epifenómenos irrele­vantes para a questão essencial: a discussão matemática do ­sistema de verificação utilizado, o milenar e literalmente infantil noves fora nada.

Do ponto de vista matemático, dificilmente o sistema podia ser mais primitivo. Em primeiro lugar, é completamente transparente; uma criança pode compreendê-lo — ou, pior, qualquer candidato a falsificador pode detectá-lo sem esforço. Em ­segundo lugar, e mais importante: é extremamente ineficiente enquanto algoritmo de controlo de erros de transmissão. Todos nos lembramos da escola primária que a prova dos nove não assegura que um cálculo está correcto: é uma condição necessária mas não suficiente. Analogamente, o facto de um número de série verificar noves fora nada não é garantia de que tenha sido correctamente transcrito. O sistema adoptado pelo BCE detecta 0% dos erros de transposição (trocar dois números consecutivos deixa tudo na mesma) e apenas 97% dos erros singulares (não são detectadas as trocas de 0 por 9 ou vice-versa, que na escrita por computador até são plausíveis — as teclas 0 e 9 estão lado a lado)⁴. Em suma: é um péssimo sistema de detecção de erros, com uma eficiência global da ordem de 78%.

Este número é altamente preocupante. Significa essencialmente o seguinte: em 100 números de série errados, apenas 78 serão detectados como tal; 22 serão considerados (erradamente) números de série válidos. A preocupação aqui nem é tanto a falsificação de notas: qualquer falsificador que se preze sabe fazer a prova dos nove, e produzirá certamente notas falsas com ­números de série válidos. O verdadeiro problema está na enorme inefi­ciência de verificação de erros de comunicação entre bancos. De facto, é quase assustador pensar que quase um quarto dos erros cometidos na comunicação dos números de série entre bancos, num mercado de 300 milhões de habitantes, não é detectado!

Como é possível que a primeira moeda genuinamente do século xxi, que utiliza tecnologia física de ponta, lasers e hologra­mas, na sua impressão, utilize um sistema de detecção de erros que representa uma regressão ao primeiro milénio? E que a deci­são do BCE tenha sido a de rejeitar um sistema de controlo como o de Verhoeff, com eficiência global de cerca de 95% a favor de outro de igual custo e eficiência 78%? Como é possível que tenhamos um bug nas notas de euro?

Uma possibilidade algo deprimente é a de terem existido ­longas reuniões de eurocratas durante as quais os representantes de ­alguns países, porventura ignorantes das subtilezas matemáticas, acharam desnecessária toda a «complicação» do sistema de Verhoeff, em vigor na Alemanha, e se lembraram da prova dos nove da sua infância, que todos conheciam... alguns votos a favor e umas quantas abstenções poderão ter feito o resto. A vítima foi o euro. Será razoável ter esperança que um pequeno país à beira-mar plantado, que não conseguiu copiar o algoritmo ISBN para o seu BI, tenha votado do lado certo?

Sejamos optimistas: há outras explicações possíveis para o bug do euro. A mais plausível, que infelizmente nada tem que ver com ciência, será dada no final.

Mas será possível que seja mesmo este o fim da história? Uma observação bastante pertinente que se pode fazer é a seguinte: será possível que exista um metacódigo mais elaborado, oculto no interior do código evidente dos nove fora nada?

A resposta é NÃO! Trata-se de uma razão estritamente aritmética. Cada país tem à sua disposição 10¹⁰ números de série, correspondentes aos 10 algarismos «livres». Suponhamos que estes 10 algarismos incorporam um subcódigo com (pelo menos) um dígito de controlo oculto. Passa apenas a haver 10⁹ números de série possíveis (pelo menos um dos 10 algarismos é utilizado para controlo).

A quantidade de notas colocadas em circulação a 1 de Janeiro de 2002 foi divulgada publicamente pelo BCE e está na Internet; veja-se http://www.euro.ecb.int. Alemanha, França, Itália e Espanha colocaram nesta data mais do que 10⁹ notas cada um. Portanto, nestes países é matematicamente impossível haver subcódigos ocultos: não há algarismos suficientes — todos os 10 algarismos disponíveis são utilizados no número de série!

Restam os outros países, onde foram emitidas menos de 10⁹ notas. Esses são os que «poderiam» ter mecanismos de validação internos. Portugal é um deles. Mas em Portugal o primeiro dígito é, como se disse na quarta curiosidade, utilizado para identificar a designação da nota (notas de 5€ têm como primeiro dígito 1, de 10€ como primeiro dígito 2, etc). pelo que só «sobram» 9 algarismos. Em particular, não existe espaço matemático para um algarismo de subcontrolo de um eventual metacódigo.

Quanto aos outros sete países não é possível fazer uma afir­mação conclusiva. Mas a hipótese de um subcontrolo «local» é muito improvável não só em função dos comentários anteriores como por originar um pesadelo logístico (cada banco nacional teria de comunicar aos 11 parceiros o seu subcontrolo parti­-cular...).

Contudo, há outra surpresa à nossa espera nas notas de euro, como fez notar Paulo Rogério Pereira, do IST. As notas de euro, na face oposta à que contém o número de série, possuem um segundo código, a que chamarei mini-código. É minúsculo, está localizado sobre o lado esquerdo (nas notas de 20€, por exemplo, situa-se no interior de uma das estrelas) e é composto por seis caracteres: uma letra, 3 algarismos, uma letra entre A e J e um último algarismo entre 1 e 6. Veja-se a figura 2.

O leitor mais optimista pode neste momento estar a sorrir de satisfação: afinal, o sistema pode não ser tão patético quanto parecia! O verdadeiro controlo matematicamente sofisticado pode estar escondido no mini-código.

No entanto, alguma experiência leva a duvidar fortemente desta conjectura. Por exemplo, nas notas portuguesas o mini-código começa apenas por duas letras: U (5€, 10€ e 20€) e H (20€, 50€, 100€). Por outro lado, o mini-código não parece ter qualquer restrição — em particular dígitos de controlo; e é muito frequente aparecerem notas diferentes com o mesmo mini-código. Só se o mini-código dependesse do número de série poderia controlar algo; mas isso não parece acontecer. Os caracteres 2 a 4 correspon­dem a um número baixo, tipicamente 00n. Finalmente, o facto de o algarismo final estar entre 1 e 6 torna-o completamente inútil para algoritmos modulares.

A ilusão de quem esperava um algoritmo sofisticado no mini--código do euro é destruída com a consulta na Web a http://www.myeuro.info/. Aí ficamos a saber que os bancos nacionais são livres de dar ordem de impressão das suas notas a qualquer das tipografias autorizadas pelo BCE. A letra inicial do mini-      -código identifica simplesmente a tipografia autorizada pelo BCE onde foi fisicamente produzida a nota (ver tabela 3). Por exemplo, as notas portuguesas com mini-código começado por U foram impressas no Carregado e as começadas por H em Gateshead, no Reino Unido (que, curiosamente, ainda não está na Zona Euro). As notas portuguesas mais valiosas foram, assim, produzidas em Inglaterra. Embora o Reino Unido ainda não esteja na Zona Euro, já está a imprimir notas para outros países, como Portugal.

Quanto ao resto do mini-código, aquilo que posso afirmar não são factos confirmados mas conjecturas fortemente apoiadas nas muitas centenas de dados recolhidos. Os 3 algarismos seguintes do mini-código são um número de ordem de impressão (001,002, etc.).

O quinto carácter (letra entre A e J) e o sexto carácter ­(número entre 1 e 6) podem tomar em conjunto 60 valores diferentes. Ora, de acordo com o press release de 12 de Novembro de 2001, dis­-ponível em http://www.euro.ecb.int/pt/news/presskit.html, o ­papel das notas é cortado em folhas, onde serão impressas 24 a 60 notas, dependendo do tamanho da nota. E, de facto, nas notas de 5€ (as mais pequenas) todas as 60 combinações estão presentes; mas isso já não acontece em notas de designações (e dimensões) maiores. Por exemplo, não há nota de 10€ nem 20€ com letra J, nem nota de 20€ terminada em «6». ­Assim, estes dois caracteres com grande probabilidade identificam a posição dentro da folha de impressão onde as notas foram impressas.

O mini-código constitui um novo anticlímax: não só não salva a face matemática do euro como é uma desilusão. O mini-código não é um elemento matemático que permita validar números de série; nem sequer incorpora ele mesmo um algoritmo de ­controlo. Contém apenas informação técnica sobre a impressão das notas. É claro que esta informação técnica pode ser cruzada «manualmente» com o número de série para fornecer uma validação deste; mas se isso acontece é através de um surpreendente processo de «força bruta». Em particular exige a manutenção de uma base de dados gigantesca. O mínimo que se pode dizer é que não parece um processo muito inteligente de o fazer.

O site http://www.myeuro.info/, que tem versões em várias línguas, entre as quais o português, permite aos utilizadores registarem códigos e mini-códigos de notas de euro, verificar estatísticas e mesmo seguir o percurso de uma nota pela Europa. Em Fevereiro de 2003 tinham sido registadas cerca de 150 000 notas, das quais 1697 eram portuguesas. Uma visita que se recomenda aos mais curiosos. A versão em alemão (mas não as versões noutras línguas) possui explicações descritivas sobre o ­código e o mini-código das notas.

Finalmente, ofereço uma hipótese especulativa para a bizarra decisão do BCE em introduzir um bug nas notas de euro. Ao que tudo indica no momento da escrita, a União Europeia será alargada em 2004 a mais dez países: Polónia, Hungria, Eslovénia, Eslová­quia, República Checa, Estónia, Letónia, Lituânia, Chipre e Malta (além destes, a Turquia já solicitou a adesão à UE). A União Europeia passará assim a ser formada por 25 países, em lugar dos actuais 15. Ora, como se explicou a propósito da tabela 2, o sistema actualmente utilizado nas notas de euro admite apenas 23 letras utilizáveis. Mesmo os países hoje membros da UE que não estão na Zona Euro têm uma letra já atribuída, casos do Reino Unido, Suécia e Dinamarca. É de crer que o mesmo ­suceda quando estes dez países aderirem. Nessa altura haverá pois 25 países para 23 letras, e o actual sistema «um país-uma letra» ficará obsoleto; terá forçosamente de ser substituído por outro. Se esta conjectura estiver correcta, o sistema de numeração de notas de euro mudará em 2004, aquando da adesão dos novos países. Provavelmente, nessa ocasião será adoptado um sistema de controlo matematicamente eficiente e sofisticado, como o de Verhoeff e Gumm, para substituir a infantil (e perigosa) prova dos nove actual. Ou seja: será corrigido o bug. O actual euro 1.0 passará a um (espera-se) melhorado euro 2.0.

No entanto, é mesmo possível que o sistema actual tenha sido deliberadamente concebido de forma a ficar obsoleto com a adesão dos novos países à UE (que estava a ser negociada há anos, antes mesmo da introdução do euro). Na verdade, que melhor sinal de boa-vontade política a UE poderia dar aos novos países do que dizer, «Bem-vindos! Convosco aqui, temos agora de alte­rar a forma como numeramos as nossas notas. Mas não se preo­cupem; será um prazer!».

Prazer ou não, note-se que, mesmo tratando-se de uma estratégia deliberada e de uma decisão política, o facto que vai tornar o sistema actual obsoleto é a atribuição de uma letra a cada país, e não o sistema de verificação utilizado. Mesmo que tudo se tenha passado assim, não era necessário termos hoje o bug da prova dos nove nas notas. Como dizia um conhecido humorista, «não havia necessidade».

 

2

 

O mundo é pequeno

 

A cena é familiar. Suponha o leitor que está numa festa com dezenas de pessoas. Naturalmente, conhece algumas delas e não conhece outras. De repente, dá-se conta de que dois seus conhecidos que julgava nada terem que ver um com o outro — ­digamos, um dos administradores da sua instituição e um antigo colega de liceu que já não via há 15 anos — se conhecem mutuamente. Ou que, ao conversar com alguém que acabou de lhe ser ­apresentado, descobre que esse alguém afinal é cunhado de um dos melhores amigos daquele seu colega que vive numa cidade distante. Dificilmente conseguirá escapar ao lugar-comum que todos ­repetimos em circunstâncias semelhantes: «O mundo é pequeno!»

Curiosamente, resultados recentes de investigação matemática vieram mostrar que este lugar-comum é muito mais profundo do que parece. Num certo sentido muito preciso, as teias de relações humanas estão quase fatalmente — e surpreendentemente — condenadas a evidenciar um fenómeno deste tipo, conhecido na literatura científica precisamente como fenómeno dos «pequenos mundos» e no imaginário popular como os «seis graus de separação». Esta ideia consiste no «facto» de qualquer ser humano   — o leitor, por exemplo — estar apenas a seis pessoas de distância de qualquer outra — o Papa ou Nelson Mandela ou um anó­nimo cidadão japonês — no sentido em que o leitor conhece alguém que conhece alguém que... até chegar ao Papa (ou Mandela ou ao dito cidadão japonês) no máximo em seis passos.

A história começa no final dos anos 60, com uma famosa experiência do psicólogo norte-americano Stanley Milgram (céle­bre pelas suas experiências muito polémicas sobre os efeitos da autoridade no comportamento humano). Milgram enviou um con­junto de pacotes a cidadãos do Nebraska e Kansas, com instruções para os destinatários os reenviarem a conhecidos seus com o objectivo final de os fazer chegar a uma dada pessoa no Massa­chusetts, com a qual não tinham qualquer relação. Os seus resultados foram surpreendentes: os pacotes atravessaram os Estados Unidos e chegaram ao destino através destas cadeias, em média, ao fim de cinco passos! Realizando correcções estatísticas ­(houve pacotes que nunca chegaram ao destino), a conclusão de Milgram foi que o comprimento médio de uma cadeia de conhecimentos que leva de uma pessoa a qualquer outra é seis. Ou seja, qualquer pessoa está separada de outra qualquer por seis apertos de mão — «seis graus de separação».

É claro que este estudo empírico em si não prova grande coisa. No entanto, esta ideia perturbadora enraizou-se na cultura popular. É esta a origem da expressão «seis graus de separação» que dá nome à peça de teatro de 1990 do dramaturgo americano John Guare e ao filme de 1993 de Fred Schepisi: uma das personagens; Ouisa, afirma a certa altura que

 

«[...] todas as pessoas neste planeta estão separadas entre si por apenas seis outras pessoas. Seis graus de separação. Entre nós e qualquer outra pessoa do planeta. O Presidente dos Estados Unidos. Um gondoleiro de Veneza. Um esquimó [...] estou ligado a qualquer pessoa do planeta por uma cadeia de apenas seis pessoas. É uma ideia profunda... cada pessoa é uma porta que se abre para novos mundos.»

Por outro lado, a ideia deu origem a variantes curiosas como, por exemplo, o jogo Six Degrees of Kevin Bacon, implementado na Internet pelo Departamento de Ciência de Computação da Universidade da Virgínia através de um programa chamado O Orá­-culo de Bacon. Dê-se a cada actor que contracenou com Bacon nalgum filme o «número de Bacon» 1, a um actor que nunca con­-tracenou com Bacon mas que contracenou com alguém que contra­cenou com Bacon o número 2, etc. O número de Bacon mede assim a «distância cinematográfica» de um qualquer actor a Bacon. Existem actores completamente separados de Bacon?  A resposta é não: o número de Bacon máximo é 6. Mais: o número de Bacon «médio», num universo de quase 300 000 acto­res, é surpreendentemente baixo: cerca de 2,9. Por exemplo, Maria de Medeiros tem número de Bacon 2: entrou em Pulp Fiction contra­cenando com Amanda Plummer, que por sua vez contrace­nou com Bacon em Elizabeth Jane. Joaquim de Almeida tem número de Bacon 3, ligando-se a ele através de Aurore Clement e Vittorio Gassman. O Mundo de Hollywood é muito, muito pequeno. Se o leitor tiver curiosidade em calcular o número de Bacon do seu actor preferido (bem como a lista de ligações cine­matográficas que a ele conduzem) é convidado a visitar O Oráculo de Bacon em http://www.cs.virginia.edu/oracle/).

Um exemplo particularmente caro aos matemáticos é o do «número de Erdös». Paul Erdös, matemático húngaro falecido em 1996, foi a par com Euler o matemático mais produtivo de todos os tempos. Publicou mais de 1500 artigos, muitos deles   em colaboração. Os matemáticos tiveram então a ideia de cal­cular o «número de Erdös»: se um matemático publicou um   artigo em colaboração com Erdös, o seu número é 1; se não publicou mas publicou um artigo conjunto com alguém que o fez, o seu ­número é 2, etc. Há 507 matemáticos com número de Erdös 1 e mais de seis mil com número de Erdös 2. O autor destas linhas, por exemplo, tem número de Erdös 4. Também a matemática é um pequeno mundo. Curiosamente, o próprio     Erdös tem o número de Bacon 4: ele entrou em filmes sobre Mate­mática!

Tudo isto parecem ideias mais ou menos vagas e folclóricas. Curiosidades engraçadas para referir num animado jantar com amigos, mas com pouca ou nenhuma substância científica.             E assim permaneceram as coisas até 1998 e à publicação na Nature de um artigo dos matemáticos Duncan Watts e Steven Strogatz, da Universidade de Cornell, intitulado «Dinâmica colectiva de reticulados de ‘pequenos mundos’». Duncan Watts forneceu entre­tanto uma versão mais profunda e pormenorizada do seu trabalho numa sucessão de artigos, culminando no seu livro Small Worlds, publicado pela Princeton University Press em 2000.

O trabalho de Watts e Strogatz é curioso, porque não se pode catalogar em nenhum ramo fixo da Matemática. Pelo contrário, ele vai buscar ideias e métodos a ramos diferentes; alguns resulta­dos são teoremas formais, outros são obtidos através de ­simulação por computador. O conjunto, no entanto, é extremamente interessante e abre as portas a um novo campo de investigação de ­enorme importância científica e tecnológica.

Como é possível abordar matematicamente o fenómeno dos pequenos mundos, em que dada uma teia de relações (seja de conhecimento social, de contracenar em filmes ou de escrever em conjunto) se pretende descobrir o caminho com menos ligações que vai de um ponto para outro? A resposta está no conceito de grafo, introduzido pelo matemático suíço Leonhard Euler no século xviii.

Suponhamos que temos um conjunto finito — por exemplo, um conjunto de pessoas — em que cada elemento pode ou não estar relacionado com os outros através de uma relação — por exemplo, o conhecimento pessoal. Uma forma muito útil de repre­sentar simultaneamente o conjunto de todos os elementos e de todas as relações é representando os elementos do conjunto através de pontos — chamados de vértices do grafo —, unindo dois vértices distintos por meio de uma linha — chamada aresta do grafo — no caso de eles estarem relacionados. Por exemplo, pode­mos ver na figura 1 o grafo da relação de conhecimento mútuo correspondente a um conjunto de quatro pessoas que se conhecem todas entre si.

A ordem de um vértice é o número de arestas que emanam desse vértice. Por exemplo, no grafo acima todos os vértices têm ordem 3: de todos os vértices emanam exactamente três arestas. Isto é apenas uma forma diferente de dizer que cada pessoa conhece outras três.

A teoria de grafos é o estudo sistemático das propriedades de grafos; permite retirar conclusões por vezes surpreendentes. ­Suponhamos, por exemplo, que a este grupo (chamado clique, porque todos se conhecem entre si) se junta uma quinta pessoa, que apenas conhece duas delas. O grafo correspondente será o da figura 2.

Um problema que certamente todos ouvimos na infância é o de tentar desenhar estes grafos com um só traço, sem levantar a caneta do papel, e percorrendo uma só vez cada aresta. No ­segundo caso isso é possível, no primeiro impossível. A razão entende-se facilmente. Para percorrer uma só vez cada aresta só há duas hipóteses: ou todos os vértices têm ordem par (tem de ser possível chegar e voltar a partir do mesmo vértice), ou todos os vértices menos dois (o ponto de partida e de chagada, se forem diferentes) têm ordem par. Ora no segundo caso há dois vértices com ordem 3, dois com ordem 4 e um com ordem 2. O percurso é possível, desde que comece e termine nos vértices de ordem ímpar. Já no primeiro caso todos os quatro vértices têm ordem 3 e, portanto, o problema é impossível. Este é um problema que, embora de solução elementar, mostra qual o tipo de questões que se podem colocar em teoria de grafos.

De forma análoga, podemos construir o grafo da «colaboração matemática», em que a relação entre vértices (os matemáticos) é ter publicado um artigo em co-autoria, ou o grafo «de Bacon», em que a relação entre vértices (os actores) é terem contracenado num filme, etc. A análise de grafos é precisamente o elemento matemático de base considerado por Watts e Strogatz.

Por aqui começa logo a ver-se que o problema dos «seis graus de separação» não é trivial. Pensemos no grafo das relações de conhecimento entre pessoas. Uma abordagem ingénua poderia colocar a questão da seguinte forma: cada pessoa no mundo conhece, digamos, cem outras. Assim, ao fim de seis iterações, o número de conhecimentos cresceu exponencialmente para 10¹², o que é mais de cem vezes superior à população mundial. Não é, pois, de espantar que existam apenas seis graus de separação!

A falácia, evidentemente, está em que as relações de amizade não são independentes. É impossível que todos os amigos de um amigo meu me sejam desconhecidos! Matematicamente, o «grafo das relações sociais» não tem uma estrutura em árvore: pelo contrário, as arestas entrecruzam-se e sobrepõem-se. É um grafo extremamente complicado, cuja estrutura exacta é impossível de determinar (e, além disso, varia com o tempo). Assim, quaisquer resultados matemáticos sobre este problema têm de ser resultados sobre classes de grafos.

A abordagem de Watts e Strogatz foi a seguinte. Consideremos um conjunto com n elementos em que cada elemento se relaciona com k outros elementos. Que tipos de grafos podem surgir? Num extremo estão os grafos regulares, de tipo cristalino: cada elemento relaciona-se apenas com os k vizinhos mais próximos. Do ponto de vista social isto representa um extremo abso­lutamente paroquiano: cada pessoa conhece apenas as que vivem nas casas mais próximas — e mais ninguém. Chamemos a este o mundo paroquiano. No outro extremo, surge um grafo totalmente aleatório: as k ligações de cada vértice distribuem-se de forma totalmente aleatória por entre os outros n - 1 vértices possíveis. Do ponto de vista social, corresponde a dois amigos de uma mesma pessoa terem uma probabilidade mínima de se conhe­cerem — nomeadamente, essa probabilidade é independente de terem um amigo comum. Se n for suficientemente grande, numa festa nenhum convidado conhece mais ninguém para lá do anfitrião. Chamemos a este o mundo estilhaçado.

Watts e Strogatz definem duas grandezas básicas com as quais vão caracterizar o fenómeno dos pequenos mundos. A primeira é o comprimento característico, que corresponde à média, tomada sobre todos os pares de vértices, do comprimento do percurso de um vértice a outro. O comprimento característico é, portanto, uma medida estatística do «grau de separação» entre vértices.     A segunda grandeza é o «coeficiente de agregação»: a média sobre todos os vértices da fracção de vértices que, estando relacionados com um vértice comum, estão relacionados entre si. Este coeficiente mede a probabilidade de amigos de uma mesma pessoa serem amigos entre si — ou, mais geralmente, a tendência para a formação de «cliques» ou subsociedades.

Neste sentido, o mundo paroquiano e o mundo estilhaçado são extremos. Para o mundo paroquiano, o coeficiente de agrega­ção é muito grande mas o comprimento característico também: para se chegar ao extremo oposto da cidade é preciso bater de porta em porta. Para o mundo estilhaçado, o comprimento caracte­rístico é pequeno mas o coeficiente de agregação é mínimo, ao nível do acaso. Podemos chegar a qualquer pessoa rapidamente mas seremos provavelmente forçados a percorrer a cidade várias vezes no processo.

Um modelo realista de sociedade é evidentemente intermédio entre o paroquiano e o estilhaçado. A estratégia de Watts e Strogatz foi a seguinte. Partindo de um grafo paroquiano, permitem que, com probabilidade p, cada aresta de cada vértice se desfaça e reconstitua ligando o vértice original a outro escolhido ao acaso. Ou seja, cada ligação é refeita ao acaso com probabilidade p. Para p = 0, obtém-se o mundo paroquiano; para p = 1 o mundo estilhaçado. Para p entre 0 e 1 obtêm-se modelos que se esperam realistas para o nosso mundo.

As conclusões são absolutamente surpreendentes — quase cho­cantes. O comprimento característico e o coeficiente de agregação dependem de p de formas radicalmente opostas. Enquanto o comprimento característico sofre uma queda quase na vertical em função de p, o coeficiente de agregação mantém-se praticamente constante e igual a 1 até se atingirem valores ­relativamente elevados de p. Ou seja: basta um pequeníssimo elemento aleatório (exemplo, p = 10^-5) nas relações para que o grafo correspondente represente um mundo em que simultaneamente haja um grande grau de coesão social (amigos dos nossos amigos conhecem-se entre si) mas em que simultaneamente «o mundo seja pequeno». Mais ainda: esta situação é robusta, persistindo por mais de quatro ordens de grandeza em p, e englobando todo o intervalo de valores «realista» para p.

Watts e Strogatz chamam a este fenómeno o estabelecimento de um «pequeno mundo». Veja-se a figura 3.

Este tipo de resultados tem implicações extraordinárias.           O facto de um mundo ser pequeno não é determinável a partir de características locais (coeficiente de agregação). Isto é, uma pessoa não pode saber se vive ou não num mundo pequeno analisando apenas o que se passa à sua volta. Um mundo pode ser pequeno mesmo quando existem cliques indistinguíveis localmente das de um mundo «grande»!

Por outro lado, o facto de bastar em média apenas uma ligação aleatória em, digamos, 10⁴ para transformar um mundo paro­quiano em pequeno significa que é necessário um número muito pequeno de «atalhos» para realizar esta transição. Basta um ­pequeno conjunto de viajantes regulares para transformar um conjunto de paróquias num mundo pequeno. Por exemplo, Watts e Strogatz constroem um modelo simples de propagação de doenças contagiosas que dá origem a um pequeno mundo: basta um número pequeno de atalhos para a propagação ser epidémica.

Um fenómeno semelhante a este pode ter ocorrido em 1347--1348, aquando da propagação pandémica da peste negra à escala global — da Ásia à Europa Ocidental em dois anos, num mundo em que a comunicação física era muito difícil. De facto, a ­introdu­-ção da peste na Europa foi feita por uma única pequena frota geno­-vesa proveniente do porto asiático de Kaffa em 1348. À medida que ia sendo expulsa dos vários portos a que aportava, espalhava a peste. Bastou um pequeno número de viajantes para transformar um mundo de comunidades medievais isoladas num pequeno mundo, com consequências devastadoras: desapareceu entre um terço e metade da população europeia em dois anos. Este facto não pode deixar de nos preocupar, numa altura em que o mundo é mais pequeno do que nunca e o risco de terrorismo por meio de armas biológicas não é uma hipótese académica.

Outro exemplo interessante é o da conectividade da World Wide Web. Estudos recentes de L. Barabasi, em que são ­aplicados métodos da Física Estatística, mostram que o mundo virtual de centenas de milhão de páginas Web com links de umas para as outras é um pequeno mundo. O grau de separação entre quaisquer duas páginas Web é apenas de 19. Isto é, partindo de uma qualquer página Web podemos, em média, atingir qualquer outra no máximo com 19 clicks. Este é um bom exemplo de uma rede em evolução: estão permanentemente a ser adicionadas à Web novas páginas (vértices do grafo correspondente) e links (arestas do grafo). É interessante ainda notar que a popularidade do motor de busca Google é devida a tirar partido de a Web ser um ­pequeno mundo, visto que ele classifica os documentos de acordo com a posição topológica que ocupam no grafo de ligações da Web.

Outro exemplo ainda é o da evolução da linguagem. A rede das palavras utilizadas na linguagem comum pode ser pensada como um gigantesco grafo (que evolui com o tempo, visto que a linguagem é dinâmica) em que palavras relacionadas estão ligadas por vértices. O físico José Fernando Mendes, da Universidade de Aveiro, provavelmente o grande especialista português em pequenos mundos e investigador activo nesta área, mostrou recen­temente num artigo nos Proceedings of the Royal Society que a rede de palavras na linguagem é quantitativamente um dos melho­res exemplos de pequenos mundos. José Fernando Mendes publicou em 2003, em co-autoria, o livro Evolution of networks — from biological nets to the Internet and WWW na Oxford Univer­sity Press. O leitor mais interessado é convidado a consultar a página Web de José Fernando Mendes em http://sweet.ua.pt/~f2064/.

Todos estes exemplos revelam que as consequências ­científicas e tecnológicas do trabalho iniciado por Watts e Strogatz são difí­ceis de imaginar, embora haja ainda muita matemática por fazer. Mas, como se vê, o espectro de potenciais aplicações é quase infindável. Essencialmente, todas as aplicações que dependem de redes interligadas podem beneficiar destes resultados. Alguns dos exemplos possíveis são redes de transmissão eléctrica, telecomunicações, a Internet, modelos de propagação de doenças infeccio­sas ou de vírus de computador, o processamento de informação pelo cérebro humano, ou mesmo os fenómenos cooperativos da Física da Matéria Condensada.

Retrospectivamente, é espantosa a quantidade de problemas científicos sérios que podem beneficiar da investigação sobre o fenómeno dos «pequenos mundos». Ainda na sua infância, talvez ele se venha metaforicamente a revelar um «atalho» no grafo dos problemas científicos e contribua para transformar o mundo da ciência num... pequeno mundo, com poucos graus de separação.